A
continuación explicare cada una de las leyes de kepler, pues estas son tan
relevantes para la física, debido que explican los movimientos de los planetas.
1. Los
planetas se mueve alrededor del Sol en elipses, estando el Sol en un foco.
2. La línea
que conecta a Sol con un planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.
3. El cuadrado
del período orbital de un planeta es proporcional al cubo (tercera potencia) de
la distancia media desde el Sol
(o dicho de otra manera--desde el "semieje mayor" de la elipse, la
mitad de la suma de la distancia mayor y menor desde el Sol).
Primera ley
Las órbitas de los planetas son elipses que
presentan una pequeña excentricidad y en donde el Sol se localiza en uno de sus
focos.
Una
elipse es básicamente un círculo ligeramente aplastado. Técnicamente se
denomina elipse a una curva plana y cerrada en donde la suma de la distancia a
los focos (puntos fijos, F1 y F2) desde uno cualquiera de los puntos M que la
forman es constante e igual a la longitud del eje mayor de la elipse (segmento
AB). El eje menor de la elipse es el segmento CD, es perpendicular al segmento
AB y corta a este por el medio.
La
excentricidad es el grado de aplastamiento de la elipse. Una excentricidad
igual a cero representa un círculo perfecto. Cuanto más grande la
excentricidad, mayor el aplastamiento de la elipse. Órbitas con excentricidades
iguales a uno se denominan parabólicas, y mayores a uno hiperbólicas.
La
excentricidad de la elipse puede calcularse de la siguiente manera:
e = F1F2 / AB
Donde
e es la excentricidad, F1F2 es a distancia entre los focos y AB es el eje mayor
de la elipse. Si la distancia entre los focos F1F2 es cero, como en el caso del
círculo, la excentricidad da como resultado cero.
Las
órbitas de los planetas son elípticas, presentando una pequeña excentricidad.
En el caso de la Tierra el valor de la excentricidad es de 0.017, el planeta de
mayor excentricidad es Plutón con 0.248, y le sigue de cerca Mercurio con
0.206.
Segunda ley
Las
áreas barridas por el radio vector que une a los planetas al centro del Sol son
iguales a tiempos iguales.
La
velocidad orbital de un planeta (velocidad a la que se desplaza por su órbita)
es variable, de forma inversa a la distancia al Sol: a mayor distancia la
velocidad orbital será menor, a distancias menores la velocidad orbital será
mayor. La velocidad es máxima en el punto más cercano al Sol (perihelio) y
mínima en su punto más lejano (afelio).
El
radio vector de un planeta es la línea que une los centros del planeta y el Sol
en un instante dado. El área que describen en cierto intervalo de tiempo formado
entre un primer radio vector y un segundo radio vector mientras el planeta se
desplaza por su órbita es igual al área formada por otro par de radios vectores
en igual intervalo de tiempo orbital.
En
el gráfico superior: el tiempo que le toma al planeta recorrer del punto A al
punto B de su órbita es igual al tiempo que le toma para ir del punto C al D,
por tanto, las áreas marcadas OAB y OCD son iguales. Para que esto suceda, el
planeta debe desplazarse más rápidamente en las cercanías del Sol (en el foco
de la elipse, punto O del gráfico).
Tercera ley
Los cuadrados de
los períodos orbitales sidéreos de los planetas son proporcionales a los cubos
de sus distancias medias al Sol.
El período sidéreo
se mide desde el planeta y respecto de las estrellas: está referido al tiempo
transcurrido entre dos pasajes sucesivos del Sol por el meridiano de una
estrella.
Donde T1 y T2 son
los períodos orbitales y d1 y d2 las distancias a las cuales orbitan del cuerpo
central. La fórmula es válida mientras las masas de los objetos sean
despreciables en comparación con la del cuerpo central al cual orbitan.
Para dos cuerpos
con masas m1 y m2 y una masa central M puede usarse la siguiente fórmula:
Esta ley fue
publicada en 1614 en la más importante obra de Kepler, "Harmonici
Mundi", solucionando el problema de la determinación de las distancias de
los planetas al Sol. Posteriormente Newton explicaría, con su ley de
gravitación universal, las causas de esta relación entre el período y la
distancia.
Ejemplo:
Supongamos que
queremos calcular la distancia entre Sol y Marte. Sabemos que su período
orbital es de 1.8809 años. Luego necesitamos tener una referencia conocida, la
cual puede ser la Tierra (ya que también órbita al Sol), con un período orbital
de 1 año y a una distancia de 1 U.A. (Unidad Astronómica, distancia media entre
el Sol y la Tierra).
Utilizando la
tercera ley de Kepler y sin tomar en cuenta las masas de los cuerpos
involucrados, podemos calcular el semieje de la órbita de Marte en U.A.:
Despejando D2
tenemos que:
El cálculo nos da
como resultado 1.5237 U.A. De la misma manera puede calcularse la distancia o
el período orbital de los demás planetas.
Pero la órbita de
Marte es una elipse, por tanto el cálculo nos da el semieje de la órbita (ver
gráfico de ejemplo, excentricidad exagerada para mayor claridad). Para calcular
el perihelio y el afelio debe introducirse la excentricidad en la ecuación:
Perihelio = a . (1
- e)
Afelio = a . (1 +
e)
Donde a es el
resultado de nuestro cálculo anterior (semieje), y e representa la
excentricidad orbital del planeta, 0.093 en el caso de Marte. Reemplazando y
calculando:
§ Perihelio = 1.5237 . (1 -
0.093) = 1.3819 U.A.
§ Afelio = 1.5237 . (1 + 0.093)
= 1.6654 U.A.
El calculo se
acerca bastante a los datos reales del planeta (1.381 y 1.666 para el perihelio
y afelio, respectivamente)
Podemos calcular
también la longitud de los ejes. El eje mayor es, lógicamente, la suma entre la
distancia en el perihelio y el afelio: unas 3.0473 U.A. La longitud del eje
menor puede calcularse de la siguiente manera:
Donde b es la
longitud del semieje menor (o sea, la mitad del eje menor), a el semieje de la
órbita y e la excentricidad orbital. Calculando con los datos anteriores,
tenemos que la longitud del semieje menor es de 1.5171 U.A., lo cual parece
lógico al pensar que debe ser mayor que la distancia en el perihelio y menor
que la distancia en el afelio. La longitud del eje menor es 1.5171 x 2 = 3.0342
U.A.
Debe notarse que
al calcular el semieje, se está calculando la distancia entre los centros de
ambos cuerpos. En el caso de los planetas la diferencia es mínima (un radio
planetario más un radio solar) entre el cálculo de la distancia entre los
centros y las superficies, pero en el caso de un satélite artificial, la
diferencia entre la distancia en el perigeo y el radio vector en ese momento es
de un radio planetario (6378 km. en el caso de la Tierra), algo bastante
significativo en comparación con la altitud de la órbita del satélite.
Bibliografía
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